10. ALGEBRA LINEAL Vectores 7. Ortogonalidad 8. Ortonormalidad es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma 1, es decir, es ortogonal si n e e e , , , 2 1 i e i 1
12. ALGEBRA LINEAL Vectores Un conjunto de vectores es linealmente independiente si (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) =0
13. ALGEBRA LINEAL Vectores Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. ortogonal l.i. Demostración
18. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Sean Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. linealmente independientes
25. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: diagonalización Si A simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores asociados ortonormales tales que P P’ D A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable)
27. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: representación espectral Sea con autovectores ortonormales tales que Si A es simétrica entonces existen autovalores reales
28. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Descomposición espectral de Autovalores y autovectores: representación espectral
29. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas A nxn simétrica; , f(x)=x’ A x es una forma cuadrática
30. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática
31. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Como A nxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: se tiene
32. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL x 2 x 1 y 2 y 1 e 2 e 1 y los autovectores x’Ax=c 2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son normalizados son e 1 y e 2.
33. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de
34.
35.
36. Raíz cuadrada de una matriz B es raíz de A si A=BB; ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: A semidefinida positiva ; B=A 1/2 ; A=A 1/2 A 1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces:
38. Descomposición singular de una matriz ALGEBRA LINEAL Dada la matriz A mxn , AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. es un valor singular de A, si es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn ; valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que: